В математическом анализе неопределенный интеграл суммы функций подчиняется важному свойству линейности, которое значительно упрощает процесс интегрирования. Это фундаментальное правило позволяет разбивать сложные интегралы на более простые составляющие.
Содержание
Основное свойство интеграла суммы
Для любых интегрируемых функций f(x) и g(x) справедливо равенство:
| ∫[f(x) + g(x)]dx | = | ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + C |
где C - произвольная постоянная интегрирования.
Доказательство свойства
Это свойство следует из линейности операции дифференцирования:
- Пусть F(x) - первообразная для f(x)
- Пусть G(x) - первообразная для g(x)
- Тогда (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)
- Следовательно, F(x) + G(x) - первообразная для f(x) + g(x)
Пример применения
| Интеграл | Решение |
| ∫(3x² + 4x + 5)dx | = ∫3x²dx + ∫4xdx + ∫5dx = x³ + 2x² + 5x + C |
Обобщение на n функций
Свойство распространяется на сумму любого конечного числа функций:
- ∫[f₁(x) + f₂(x) + ... + fₙ(x)]dx
- = ∫f₁(x)dx + ∫f₂(x)dx + ... + ∫fₙ(x)dx + C
Важные замечания
| Особенность | Пояснение |
| Константа интегрирования | Достаточно одной константы для всей суммы |
| Условия применимости | Функции должны быть интегрируемы на рассматриваемом промежутке |
Практическое применение
Это свойство особенно полезно при:
- Интегрировании многочленов
- Разложении сложных выражений на простые дроби
- Постепенном интегрировании сложных функций
- Решении дифференциальных уравнений
Свойство линейности неопределенного интеграла относительно суммы функций является мощным инструментом в математическом анализе, позволяющим существенно упрощать процесс нахождения первообразных.
